Koho máta veta od Fermata

V roku 1637 si  Fermat na okraj stránky rozčítanej knihy napísal, že našiel skvelý dôkaz toho, že neexistujú žiadne prirodzené čísla x, y, z pre ktoré by platila rovnica x^n + y^n = z^n v prípade, že n>2. Ale hneď dodal, že na ten svoj super dôkaz nemá v knihe dosť miesta. Kým našiel potrebný kus papiera zomrel. A bolo. 350 rokov sa túto Veľkú Fermatovu vetu (domienku) snažilo dokázať more matematikov. Profíkov i amatérov. Márne. Podarilo sa to až v 1995 pomocou naozaj komplikovanej matematiky (eliptické krivky a spol.). V súčasnosti je polovica ľudí presvedčená, že Fermatov jednoduchý dôkaz buď nikdy neexistoval, alebo bol chybný. No a druhá polovica sa ho stále snaží nájsť. Koniec úvodu.

Rovnica x^2 + y^2 = z^2 má nekonečne veľa riešení, sú nimi tzv. Pytagorejské čísla (populárna je predovšetkým hneď ich prvá trojica, 3^2 + 4^2 = 5^2). Geometrická interpretácia tejto rovnice je jasná - nájdi dva také štvorce, z ktorých za dá poskladať tretí. Najrozumnejší spôsob, ako to urobiť, je dať štvorce takto pekne "cez seba" a plochu, kde sa prekrývajú (ich prienik), spravodlivo a rovným dielom rozdeliť do prázdneho miesta budúceho nového veľkého štvorca. Pre slávnu trojicu 3^2 + 4^2 = 5^2 to vyzerá takto, aha. Štvorec 3^2  a štvorec 4^2 sa prekrývajú štvorcom 2^2 a ten sa dá pekne rozdeliť zrovna do prázdnych miest výsledného štvorca 5^2.


 Takéto riešenie má jednu ohromnú výhodu. Je symetrické a táto symetria prináša peknú kopu "obmedzení a požiadaviek" na čísla k, m, n. Napríklad k musí byť párne (aby sa k^2 dalo rozdeliť na polovicu) a musí platiť, že k^2 = 2mn .

Prečo ma tieto "obmedzenia" tak potešili? No kvôli Veľkej Fermatovej vete predsa! Napríklad rovnica x^3 + y^3 = z^3 sa dá geometricky interpretovať takto - nájdi dve kocky, z ktorých za dá poskladať tretia. A keby to bolo na štvrtú, tak sú to štvorrozmerné kocky. Atď. Takže pekne symetricky cez rohy zlepím dve kocky, pre čísla k, m, n nájdem vzťah (triviálny polynóm), ktorý musia spĺňať, dokážem, že to nejde a hop, jednoduchý dôkaz fermatovho typu je na svete. Trochu kreslenia kocečiek (viď obr. vpravo) a hotovo, je to tu. Dokáž, že neexistujú prirodzené k, m, n, pre ktoré platí 3mn(2k+m+n)=k^3 a máš pulitzera za matematiku ;-)



No, je čas na zápletku. Zliepať štvorce, kocky, štvor- a viacrozmerné kocky takto pekne, symetricky, cez rohy, nie je jediný možný spôsob, ako z nich zložiť dačo väčšie. Bohužiaľ. Aha, už úplne prvá trojica pytagorejských čísiel sa dá zložiť aj takto (viď obr. vľavo). A možností pri skladaní kociek, alebo nebodaj ich viacrozmených príbuzných musí byť rádovo viac. Takže všetko, do čoho som sa s takou chuťou pustil, stálo od samého začiatku na vode, na hlinených nohách, na chybnom predpoklade. Darmo som kreslil, darmo si to celé až sem čítal, darmo (a naivne) si očakával dáku užitočnú infromáciu? Ale nie.

Vráťme sa k štvorcom a pytagorejským číslam. Ak má štvorec, ktorý je ich prienikom, hranu k a platí, že k^2 = 2mn, tak jeden štvorec má hranu k+m, druhý k+n a výsledný k+m+n. To sa dá ohromne pekne využiť pri generovaní aj riadne veľkých pytagorejských čísiel len tak, rovno z hlavy. 

Aha, nech je napr. k=42. Súčin mn potom musí byť polovicou k^2, teda napr. "obdĺžnik", m=21 a n=42 a potom (42+21)^2 + (42+42)^2=(42+21+42)^2, čo je 63^2 + 84^2=105^2. Alebo "obdĺžnik" m=7 a n=126 (dostal som sa k nemu z toho predošlého takto m=21/3 a n=42*3) a hneď máme pytagorejskú trojicu 49^2 + 168^2=175^2 . Alebo (načo sa trocháriť) nech je k=2018. Potom m=1009, n=2018, pytagorejská trojica  3027^2 + 4036^2=5045^2. Rovno z hlavy! A hneď! Takéto skills musia (teda aspoň v určitých kruhoch) vyvolať záujem, nie? ;-)

Ďakujem za pozornosť