Koho máta veta od Fermata

V roku 1637 si  Fermat na okraj stránky rozčítanej knihy napísal, že našiel skvelý dôkaz toho, že neexistujú žiadne prirodzené čísla x, y, z pre ktoré by platila rovnica x^n + y^n = z^n v prípade, že n>2. Ale hneď dodal, že na ten svoj super dôkaz nemá v knihe dosť miesta. Kým našiel potrebný kus papiera zomrel. A bolo. 350 rokov sa túto Veľkú Fermatovu vetu (domienku) snažilo dokázať more matematikov. Profíkov i amatérov. Márne. Podarilo sa to až v 1995 pomocou naozaj komplikovanej matematiky (eliptické krivky a spol.). V súčasnosti je polovica ľudí presvedčená, že Fermatov jednoduchý dôkaz buď nikdy neexistoval, alebo bol chybný. No a druhá polovica sa ho stále snaží nájsť. Koniec úvodu.

Rovnica x^2 + y^2 = z^2 má nekonečne veľa riešení, sú nimi tzv. Pytagorejské čísla (populárna je predovšetkým hneď ich prvá trojica, 3^2 + 4^2 = 5^2). Geometrická interpretácia tejto rovnice je jasná - nájdi dva také štvorce, z ktorých za dá poskladať tretí. Najrozumnejší spôsob, ako to urobiť, je dať štvorce takto pekne "cez seba" a plochu, kde sa prekrývajú (ich prienik), spravodlivo a rovným dielom rozdeliť do prázdneho miesta budúceho nového veľkého štvorca. Pre slávnu trojicu 3^2 + 4^2 = 5^2 to vyzerá takto, aha. Štvorec 3^2  a štvorec 4^2 sa prekrývajú štvorcom 2^2 a ten sa dá pekne rozdeliť zrovna do prázdnych miest výsledného štvorca 5^2.


 Takéto riešenie má jednu ohromnú výhodu. Je symetrické a táto symetria prináša peknú kopu "obmedzení a požiadaviek" na čísla k, m, n. Napríklad k musí byť párne (aby sa k^2 dalo rozdeliť na polovicu) a musí platiť, že k^2 = 2mn .

Prečo ma tieto "obmedzenia" tak potešili? No kvôli Veľkej Fermatovej vete predsa! Napríklad rovnica x^3 + y^3 = z^3 sa dá geometricky interpretovať takto - nájdi dve kocky, z ktorých za dá poskladať tretia. A keby to bolo na štvrtú, tak sú to štvorrozmerné kocky. Atď. Takže pekne symetricky cez rohy zlepím dve kocky, pre čísla k, m, n nájdem vzťah (triviálny polynóm), ktorý musia spĺňať, dokážem, že to nejde a hop, jednoduchý dôkaz fermatovho typu je na svete. Trochu kreslenia kocečiek (viď obr. vpravo) a hotovo, je to tu. Dokáž, že neexistujú prirodzené k, m, n, pre ktoré platí 3mn(2k+m+n)=k^3 a máš pulitzera za matematiku ;-)



No, je čas na zápletku. Zliepať štvorce, kocky, štvor- a viacrozmerné kocky takto pekne, symetricky, cez rohy, nie je jediný možný spôsob, ako z nich zložiť dačo väčšie. Bohužiaľ. Aha, už úplne prvá trojica pytagorejských čísiel sa dá zložiť aj takto (viď obr. vľavo). A možností pri skladaní kociek, alebo nebodaj ich viacrozmených príbuzných musí byť rádovo viac. Takže všetko, do čoho som sa s takou chuťou pustil, stálo od samého začiatku na vode, na hlinených nohách, na chybnom predpoklade. Darmo som kreslil, darmo si to celé až sem čítal, darmo (a naivne) si očakával dáku užitočnú infromáciu? Ale nie.

Vráťme sa k štvorcom a pytagorejským číslam. Ak má štvorec, ktorý je ich prienikom, hranu k a platí, že k^2 = 2mn, tak jeden štvorec má hranu k+m, druhý k+n a výsledný k+m+n. To sa dá ohromne pekne využiť pri generovaní aj riadne veľkých pytagorejských čísiel len tak, rovno z hlavy. 

Aha, nech je napr. k=42. Súčin mn potom musí byť polovicou k^2, teda napr. "obdĺžnik", m=21 a n=42 a potom (42+21)^2 + (42+42)^2=(42+21+42)^2, čo je 63^2 + 84^2=105^2. Alebo "obdĺžnik" m=7 a n=126 (dostal som sa k nemu z toho predošlého takto m=21/3 a n=42*3) a hneď máme pytagorejskú trojicu 49^2 + 168^2=175^2 . Alebo (načo sa trocháriť) nech je k=2018. Potom m=1009, n=2018, pytagorejská trojica  3027^2 + 4036^2=5045^2. Rovno z hlavy! A hneď! Takéto skills musia (teda aspoň v určitých kruhoch) vyvolať záujem, nie? ;-)

Ďakujem za pozornosť

Haló, kto tam?

Kto by toto zvolanie nepoznal? Snáď len ten, kto v živote netelefonoval. A takí už na svete hádam ani nie sú. Možno však neviete, prečo sa do telefónu vykrikuje práve slovko „haló“. Podľa slovníka ide o „citoslovce, ktoré vyjadruje upozornenie niekomu oslovenému predovšetkým pri telefonovaní“. Na jeho vznik existujú dva názory – oficiálny a neoficiálny (doslova „menšinový“). Začneme tým oficiálnym vysvetlením. Vynálezcom prvého funkčného a prevádzkyschopného telefónu bol v roku 1876 Američan Alexander Graham Bell. Historicky úplne prvé vyslovené (a na druhom konci drôtu aj úspešne vypočuté) slová boli: „Mr. Watson, come here, I want to see you“. Pán Watson, ktorého Bell takto k sebe volal, bol jeho pomocníkom a spoluvynálezcom. V tomto telelefonáte teda slovko „haló“ a ani nič podobné ešte nezaznelo. Pri neskorších pokusoch však používal bodrý Bell ako úvodný pozdrav (a súčasne test spojenia) zvučné námornícke „ahoy-hoy“. Už v roku 1877 mu však Thomas Alva Edison odporučil nahradiť ho pozdravom „hello“, prípadne jeho starším variantom „hallo“. Samotnému Bellovi sa to príliš nepozdávalo, ale už si nepomohol – medzi ľuďmi sa ujal Edisonov návrh. No a čo tá neoficiálna teória pôvodu slovka „haló“? Bell mal vraj dvoch šikovných maďarských pomocníkov z Uhorska. Tí, keď spolu testovali práve vynaliezaný telefón, nadšene do mikrofónu vykrikovali zvučné maďarské „hallótt, hallótt“ („počul, počul som“). Učenlivý Bell si to zapamätal, slovko si osvojil a napokon aj presadil jeho celosvetové používanie. Tak či onak, isto uznáte, že obe vysvetlenia majú svoje čaro. Čaro skrytého príbehu a osudov, ktoré sa udiali, životov, ktoré boli „odžité“ a ktorými je naplnené všetko okolo nás. Skúste na to myslieť pri telefonovaní. A aj inokedy.

pardon 14/2007

Tri

Slovo „tri“ má tri písmenká a súčasne hovorí o čísle 3 (pomenováva ho). Podobne napríklad slovo „ň“ hovorí o písmene „ň“ a pritom ani nič iné ako práve toto písmeno ani neobsahuje. Ide o zvláštne stretávanie formy a obsahu (významu) slova. Podobne sú na tom aj niektoré citoslovcia, ktoré sa snažia napodobiť konkrétny, reálny zvuk („kikirikí“, „haf“, „bum“). Ide však o výnimky. Absolútna väčšina slov sú abstraktné zhluky hlások (zvukov). Inak to ani nejde - veď ako by ste nejakým konkrétnym, nezameniteľným a jednoznačným zvukom vyjadrili napríklad „bledomodrú“ farbu? Slovo je abstraktný zvukový kód. Ak nepoznáte „dešifrovací kľúč“ (teda jazyk, do ktorého slovo patrí) slovu nerozumiete. Zrejme to však takto nebolo odjakživa. V ranných štádiách vzniku ľudských jazykov bol podiel konkrétneho a abstraktného významu slov iný. V mnohých jazykoch sa tieto prastaré vlastnosti slov prejavujú dodnes. O čom hovoríme? Napríklad v malajzijskom jazyku (a nielen v ňom) sa množné číslo tvorí jednoduchým mechanickým zopakovaním toho istého slova. A v svahilštine sa opakovaním slova stupňujú prídavné mená a príslovky. Svahilské „haraka“ znamená „rýchlo“, „haraka, haraka“ znamená „veľmi rýchlo" alebo „rýchlejšie“ (z toho aj známe svahilské príslovie „haraka, haraka haina baraka“, t.j. „veľké ponáhľanie nemá požehnanie“, čo je obdoba nášho „pomaly ďalej zájdeš“). Ak nestačí slovo zopakovať dvakrát, zopakuje sa hoci aj trikrát, jeho významu to dodá na dôraznosti (svahilské „fofofo“ znamená „ale už naozaj úplne a kompletne a definitívne celkom“).

pardon 14/2006

Šuviks

Pekné slovo, nie? Ani sa nezdá, ale je dokonca aj spisovné. Kde sa u nás vzalo? Podľa synonymického slovníka slovenčiny ide buď o „nič“, alebo o „čiernidlo“. S významom „nič“ naozaj nič nenarobíme, poďme sa pozrieť na zúbok tomu „čiernidlu“. Vosk na topánky sa po nemecky povie „Schuhewachs“, anglicky „shoe wax“. A sme doma. Otcom slova „šuviks“ je teda krém na topánky, matkou zase pozorné a učenlivé ucho našich ľudí, ktorí s týmto vynálezom kedysi vo svete prišli do styku.

pardon 11/2006

Basta fidli

Výrečné zvolanie, ktorým dávame najavo, že niečo skončilo, že toho bolo dosť a hotovo... Dobre, to je koniec, ale čo začiatok? Kde je začiatok „bastafidliovského“ príbehu? Kde sa „basta fidli“ u nás nabralo a čo je vlastne zač? Oficiálne ide o citoslovce. Znie veľmi cudzokrajne, tak šťavnato, akokeby taliansky alebo španielsky. Slovo „basta“ z týchto jazykov skutočne aj pochádza a znamená prakticky to isté, teda „dosť, hotovo“. Slovo „fidli“ však v nich neexistuje (ani v podobe s ypsilonami). „Basta fidli“ sa používa len a výhradne v slovenčine a češtine. Iné (ani príbuzné) jazyky ho nemajú. „Basta fidli“ je teda umelý novotvar ktorý vznikol niekedy nie dávno niekde na území Československa. Kedy a kde? Nevieme. Ale nápadne sa podobá na slovné hračky, ktoré s obľubou vo svojich komédiách používal český komik Vlasta Burian. Naozaj nie je ťažké si ho predstaviť, ako sa snaží umlčať huslistov v talianskom orchestri zvolaním „basta fidli“ (vo význame „dosť bolo fidlikania“). Možno je „basta fidli“ o čosi staršie a vymysleli ho (tak ako slová „sranda“, či „žaves“) Voskovec a Werich v Osvobozenom divale. Alebo niekto podobný. A basta fidli.

pardon 7/2006

Mama, tata, bábo - jedna rodina

„Mama“ je prvé detské slovo. A je rovnaké pre malého Číňanka, Maďarka, alebo Slováčika. Navyše aj ostatné slová označujúce členov rodiny znejú vo všetkých jazykoch sveta takmer rovnako. Mama je „mama“ vo všetkých jazykoch Európy, Po čínsky sa povie „ma“, po svahilsky „mama“. Malí indáni Navahovia hovoria svojej indiánskej mame „má“. Otec sa v rôznych jazykoch povie „tata“, „papa“, „apa“, „dada“, perzsky „babá“. Arabsky je „babá“ pre zmenu dedo (u nás babka). Podobne znie naše „bábo“. To sa po francúzsky a španielsky povie „bebé“, po anglicky „bejby“. V jednom z jazykov austrálsko-indonézskej oblasti je mama „nánay“, otec „tátay“. Gruzínci (známi svojím „opačným“ používaním slov) hovoria otcovi „mama“ a mame „deda“. Nie je to podozrivé? Nesvedčí to o spoločnom prazáklade všetkých jazykov sveta? Veru nie, nesvedčí. Kompletné a konečné vysvetlenie publikoval v roku 1962 lingvista Jakobson. Jeho práca sa dá zhrnúť veľmi ľahko. Otvorte ústa a vydajte zvuk. Bude to „á“. Zavrite ich. Zaznie „m“. Jednoduchšie hlásky neexistujú. Všetky detské slová sú zložené len z tých najľahšie vznikajúcich hlások. Malé deti hovoria takým jazykom, aký práve zvládajú. Ste z tohto lapidárneho vysvetlenia rozčarovaní? Nebuďte. Námet na zamyslenie vám môže poskytnúť aj životný príbeh samotného pána Jakobsona. Volal sa Roman Osipovič Jakobson. Z rodného Ruska musel po komunistickom prevrate (už ako známy vedec) ujsť pred bolševikmi. Na takmer dve desaťročia zakotvil v Československu. Druhá svetová vojna ho donútila utekať znovu. Najskôr na pár rokov do Škandinávie a potom až do Ameriky. Tam už zostal a na Harvardskej univerzite pôsobil ako významný celosvetovo uznávaný lingvista až do svojej smrti.

pardon 51/2005

Neverbálna komunikácia

Keď sa vás opýtam, čo je to „neverbálna komunikácia“, možno miesto odpovede len bezradne pokrčíte plecami. No a to je práve ono. Viete, čo robíte, keď krčíte plecami? Neverbálne komunikujete! Odpovedáte mi bez použitia jazyka. Rôzne gestá a mimika, ale aj postoje tela (a dokonca aj „reč kvetov“) sa používajú ako doplnok, náhrada, prípadne zvýraznenie hovorenej reči. Nezaobídeme sa bez nich. Pri telefonovaní sa dajú čiastočne nahradiť intonáciou. Pri „písomnom styku“ (mám na mysli hlavne e-mail a SMS-ky) sa bežne používajú „smejkovia“ (smileys, smilies, smajlíky, emotikony). Sú to zjednodušené symboly výrazov tváre (oči, nos, ústa). Príklady: úsmev, radosť :-), veľká radosť :-)))), smútok :-(, irónia ;-), prekvapenie :-O, atď. Neverbálna komunikácia je podstatne rozšírenejšia, ako sa zdá. Používajú ju aj zvieratá (čo iné im zostáva, že?). Kým napríklad dokážeme akosi „rozumieť“ mimike (oči, uši) a gestám (vrtenie chvostom) psa, u iných zvierat sme bezradní a môžeme doslova doplatiť na zásadné komunikačné omyly (široký úsmev odhaľujúci zuby je u opíc výrazom varovania, takže od opice, ktorá sa „smeje“ utekajte). S neverbálnou komunikáciou však dokážu byť pekné ťažkosti aj medzi ľuďmi. Používame ju častokrát nevedomky, mimovoľne. Vznikajú mnohé nové gestá (kto zo starších ľudí vie, čo dnes znamená brnknutie ohnutým ukazovákom zo spodu o bradu). Importujú sa cudzie gestá (vztýčený ukazovák namiesto našej ruky ohnutej v lakti). Rovnaké gestá majú rôzny význam (kým vztýčený malíček s ukazovákom znamená v taliansku hanlivé „cornuto“ (podvedený manžel, paroháč), pre našich metalistov je to základné uznanlivé gesto (satan). V temperamentnejších krajinách je neverbálna komunikácia podstatne rozšírenejšia a bohatšia ako u nás (Francúzi, Taliani). A v niektorých absolútne a diametrálne odlišná. V Číne si neťukajte na čelo a ani nekrčte bezradne plecami - v lepšom prípade vaše gestá nepochopia, v tom horšom ich nečakane pochopia úplne inak. Lenže v Číne nepochodíte s viacerými vecami, dokonca ani s naším jednoduchým ukazovaním čísiel na prstoch. Napríklad naše gesto pre číslo „2“ ukázané vztýčeným palcom a ukazovákom znamená v Číne číslo „8“. Praktickí Číňania si totiž vyvinuli dokonalý systém zobrazovania všetkých čísiel prstami jedinej ruky - druhá ruka totiž pri dohadovaní ceny na trhu musí pevne držať tovar

pardon 52/2005